Równania Maxwella w postaci różniczkowej (operatorowej)
Istnieje kilka równoważnych sformułowań równań Maxwella. Poza, przedstawioną w module Równania Maxwella i Równania Maxwella zależne i niezależne od czasu postacią całkową, równania Maxwella często przedstawiane są postaci różniczkowej. Tę formę równań można otrzymać bezpośrednio z formy całkowej w wyniku przekształceń matematycznych w oparciu o twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa.
W module Pole grawitacyjne, pola sił omówiliśmy, na przykładzie sił grawitacyjnych, ważne w fizyce pojęcie pola. Analogicznie w module Pole elektryczne zdefiniowaliśmy natężenie pola elektrycznego. W obu przypadkach mamy do czynienia z wektorowym polem sił (grawitacyjnej, elektrostatycznej). W każdym punkcie takiej przestrzeni/pola określona jest pewna funkcja wektorowa \( {\bf v } ({\bf r } ) \), określony jest wektor pola \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \). Takie pole nazywamy polem wektorowym (zob. moduł Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe ).
Kierunek pola jest wyznaczony poprzez linie pola wektorowego, do których wektor pola jest styczny w każdym punkcie. Skorzystamy teraz, z wprowadzonego w module Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe, operatora wektorowego nabla \( \nabla\left(\widehat{i}\frac{\partial}{\partial x },\widehat{j}\frac{\partial}{\partial y },\widehat{k}\frac{\partial}{\partial z }\right) \) do zdefiniowania operatorów dywergencji i rotacji.
Operator dywegencji to wynik iloczynu skalarnego operatora nabla i wektora pola \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \) (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole skalarne
Dywergencja jest miarą źródłowości pola (oznacza intensywność źródła), wskazuje na lokalne źródła pola wektorowego i wiąże się z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego, które umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową:
gdzie \( V \) jest obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą \( S \).
Operator rotacji to wynik iloczynu wektorowego operatora nabla i wektora pola \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \) (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole wektorowe
Rotacja określa obrót wektora pola, np. dla płynącej cieczy, \( rot {\bf v } \) oznacza, że mamy do czynienia z wirami. Rotacja jest miarą obecności lokalnych zawirowań pola i wiąże się z twierdzeniem Stockesa, które wiąże całkę liniową z pola wektorowego po zamkniętym konturze \( L \) z całką powierzchniową po płacie powierzchniowym \( S \) ograniczonym przez kontur \( L \):
Teraz (zob. Tabela 1 ) na podstawie twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego zamieniamy całkę powierzchniową na całkę objętościową, a na podstawie twierdzenia Stokesa zamieniamy całkę liniową (cyrkulację) na całkę powierzchniową i przekształcamy równania Maxwella do postaci różniczkowej (operatorowej).
| Postać całkowa | Zmiana całkowania | Postać różniczkowa |
| \( {\oint}{\bf E }\cdot d{\bf S }=Q/\varepsilon_0 \) | \( \underset{S}{\oint}{\bf E }\cdot d{\bf S }=\underset{V}{\int}(\nabla\cdot{\bf E }) d{V} \) | \( \nabla\cdot{\bf E }=\rho/\varepsilon_0 \) |
| \( {\oint}{\bf B }\cdot d{\bf S }=0 \) | \( \underset{S}{\oint}{\bf B }\cdot d{\bf S }=\underset{V}{\int}(\nabla\cdot{\bf B }) d{V} \) | \( \nabla\cdot{\bf B }=0 \) |
| \( {\oint}{\bf E }\cdot d{\bf l }=-\frac{d \phi_B}{d t} \) | \( \underset{L}{\oint}{\bf E }\cdot d{\bf L }=\underset{S}{\int}(\nabla\times{\bf E }) d{\bf S} \) | \( \nabla\times{\bf E }=-\frac{\partial {\bf B }}{\partial t} \) |
| \( {\oint}{\bf B }\cdot d{\bf l }=\mu_0\varepsilon_0\frac{d \phi_E}{d t}+\mu_0I \) | \( \underset{L}{\oint}{\bf B }\cdot d{\bf L }=\underset{S}{\int}(\nabla\times{\bf B }) d{\bf S} \) | \( \nabla\times{\bf B }=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial {\bf E }}{\partial t}+\mu_0{\bf J} \) |
gdzie \( \rho \) jest gęstością ładunku, a \( {\bf J } \) wektorem gęstości prądu.